9급국가직공무원 2014-04-19 수학 11번 문제 해설

문제 요약: 점 (a, b)가 직선 \( y = x + 4 \) 위에 있을 때, \( a^2 + b^2 \)의 최솟값을 구하라.

정답: 3번 (8)

정답 근거:
- 직선 \( y = x + 4 \) 위의 점은 \( b = a + 4 \)를 만족한다.
- \( a^2 + b^2 \)을 \( a^2 + (a + 4)^2 \)로 표현하면 \( a^2 + a^2 + 8a + 16 = 2a^2 + 8a + 16 \).
- 이 식을 \( a \)에 대해 미분하고 극값을 찾으면 \( a = -2 \)일 때 최솟값을 갖는다.
- \( a = -2 \)일 때, \( b = -2 + 4 = 2 \). 따라서 \( a^2 + b^2 = (-2)^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8 \).

오답 포인트:
- 1번 (0): 점이 원점에 위치할 때만 성립하므로 직선 조건 위반.
- 2번 (4): \( a \)와 \( b \)의 값이 최솟값 조건을 만족하지 않음.
- 4번 (12): 계산 오류 또는 극값 찾기 미숙으로 인한 잘못된 값.

핵심 개념:
- 직선 위의 점을 이용한 변수 관계 설정.
- 거리 제곱 공식 \( a^2 + b^2 \)의 최솟값을 찾기 위한 미분 활용.

마무리 요약: 점 \( (-2, 2) \)에서 \( a^2 + b^2 \)의 최솟값은 8로, 직선과 거리 최소화 조건을 만족한다.